15 de diciembre de 2017

La constante ɣ de Euler

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En 1748 Leonhard Euler publica Introductio in Analysin Infinitorum en dos volúmenes (E101, E102).

La Introductio de Euler resultó trascendente, afectando a las matemáticas posteriores en contenido, estilo y notación. Euler da una definición exacta de función que difiere algo del concepto moderno:

"Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier forma, cualesquiera que sean la cantidad variable y las cantidades constantes".

 Pero Euler fue más allá de dar esa definición, destacó aquellas funciones que han sido utilizadas como los bloques esenciales para construir el Análisis: polinómicas, trigonométricas, exponenciales y la función logaritmo.

Fue Euler el primero que entiende la función logaritmo como la inversa de una función exponencial y no un mero instrumento de cálculo.

Es importante recalcar que las tablas de logaritmos habían aparecido un siglo antes de que Euler naciera. Una tabla de logaritmos fue, desde esa época hasta mediados del siglo XX, lo que las calculadoras y el ordenador son en la época moderna: un gran invento para ahorrar tiempo en los cálculos tediosos. Transformaban la multiplicación y la divisón en simple adicción o sustracción.

El término logaritmo fue acuñado por Napier en el siglo XVII. Henry Briggs, profesor de geometría en Oxford, visitó a Napier en Edimburgo y después de discutirlo, llegaron a la conclusión de que el logaritmo de 1 debía ser igual a 0, mientras que el logaritmo de 10 debía ser igual a 1. Así nacen los logaritmos de "base vulgar" o logaritmos de Briggs. 

La tarea de construir la primera tabla de logaritmos en base 10 fue asumida por Briggs, fue una labor tediosa que la siguiente generación de matemáticos mejoraría usando series infinitas. Los primeros pasos en el nuevo cálculo logarítmico fueron dados por Gregoire de Saint Vicent, quien sugirió que existía relación entre los logaritmos y el área bajo un segmento de hipérbola.


  Ahora sabemos que el área bajo un segmento de hipérbola viene dado por el logaritmo natural.

 \[   \int_{1}^{x}\frac{1}{t}\cdot dt= ln (x)   \]

Serán Mercator y Newton quienes aproximarán estas áreas hiperbólicas mediante series, y por tanto los logaritmos.

Newton obtuvo que:

\[ ln(1+x)= \int_{0}^{x}\frac{1}{1+t}\cdot dt=\int_{0}^{x} (1-t+t^{2}-t^{3}+...)= x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-...     \]

Euler conoció los métodos de Newton y Mercator para aproximar valores de logaritmos mediante series, y lo mejoró. Euler observó que esa serie no aproximaba los logaritmos con la eficiencia deseada. Así que realiza un cambio, sustituye \(x\)  por \( -x \) : 

\[ ln (1-x) = - x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}-... \]

Restando ambas expresiones obtuvo:

 \[ ln(1+x) - ln (1-x) = 2x+ \frac{2x^{3}}{3}+\frac{2x^{5}}{5}+...\]
\[  ln\frac{1+x}{1-x}=2\cdot \left [x+ \frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+... \right ]    \]

Euler afirmó que esta serie era fuertemente convergente para valores pequeños de x y que transformaría el cálculo de logaritmos decimales en una labor sencilla. Fue Euler el que, además, había demostrado la "regla de oro de los logaritmos", es decir, la relación entre logaritmos de distintas bases:  \(  \log_{10}(b) = \dfrac{ln (b)}{ln (10)} \).

Así, si  \(  x=   \dfrac{1}{3}   \), se podría calcular fácilmente  \(  ln(2)  \):
\[  ln  \dfrac{4}{2} = ln(2) = 2\cdot \left [ \frac{1}{3}+ \frac{1}{81}+\frac{1}{1215}+... \right ] = 0,693135     \]

Si \(  x=   \dfrac{1}{9} \) obtenemos
 \[  ln  \dfrac{5}{4} = 2\cdot \left [ \frac{1}{9}+ \frac{1}{2187}+\frac{1}{295245}+... \right ] = 0,223143    \]
Por tanto 
\[ ln(5)= ln (4 \cdot \dfrac{5}{4})= 2\cdot ln(2) + ln  \dfrac{5}{4} = 1,609413 \]

Finalmente:

\[log(5)=\dfrac{ln (5)}{ln (10)}= \dfrac{ln (5)}{ln (5)+ln(2)}= \dfrac{1,609413}{2,302548}=0,698970 \]
Para Euler, los logaritmos eran una de las herramientas principales del Análisis, aparecen una y otra vez a lo largo de su fructífera obra. Fue así como Euler encontró una relación entre los logaritmos y la serie armónica, y en este camino descubrió una de las constantes más omnipresentes de todas las matemáticas, la constante "gamma de Euler", ɣ.


La serie armónica \(   \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n}     \) escondía tras su sencilla apariencia su carácter, la serie diverge hacia infinito. Este comportamiento era conocido mucho antes de que Euler naciera, lo había demostrado Jakob Bernoulli en Tractatus de seriebus infinitis.


Tractatus de seriebus infinitis (páginas 250, 251)

Euler se sintió atraido por la serie armónica y también realizó una demostración de la divergencia, en su Introductio

Parte de su expresión 

\[ ln (1-x) = - x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}-... \]
haciendo  \(  x=1   \)
 \[ ln (0) = - (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-... )\]
Por tanto 
\[  \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n}  = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-... = - ln(0)=ln(\frac{1}{0})=ln ( \infty) =  \infty  \] 
Queda demostrado.
Porque, Euler dice: "el logaritmo de un número infinito es infinito". 
Así Euler conecta la propiedad de la serie armónica con el logaritmo.

Decide profundizar...

Comienza tomando \( x=\frac{1}{n} \) que sustituye en la expresión de la serie obtenida por Newton:
\[  ln(1+ \frac{1}{n})= \frac{1}{n}-\frac{1}{2n^{2}}+\frac{1}{3n^{3}}-\frac{1}{4n^{4}}- ...   \]

Por tanto
\[ \frac{1}{n}= ln(  \frac{n+1}{n}) +\frac{1}{2n^{2}}-\frac{1}{3n^{3}}+\frac{1}{4n^{4}}-...    \]

Sustituye \( n=1, 2, 3, 4,... \) obteniendo:

\[ 1 = ln(2) + \frac{1}{2}-\frac{1}{3} + \frac{1}{4}-... \]
\[ \frac{1}{2}=ln( \frac{3}{2})+ \frac{1}{8}-\frac{1}{24}+\frac{1}{64}-...     \]
\[\frac{1}{3}= ln(\frac{4}{3}) + \frac{1}{18}-\frac{1}{81}+\frac{1}{324}-...   \]
.............................................................
\[\frac{1}{n}=ln( \frac{n+1}{n}) +\frac{1}{2n^{2}}-\frac{1}{3n^{3}}+\frac{1}{4n^{4}}- ...\]

Sumando por columnas:

\[  \sum_{1}^{n }\frac{1}{k}  = ln(2) +ln( \frac{3}{2})+ ln(\frac{4}{3})+...+ln( \frac{n+1}{n})+  \frac{1}{2}\cdot \left [ 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...\frac{1}{n^{2}} \right ] - \frac{1}{3}\cdot \left [ 1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+...+\frac{1}{n^{3}} \right ]+...  \]
Obtiene:
\[\sum_{1}^{n }\frac{1}{k} = ln(2\cdot \frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot \cdot \cdot\frac{n+1}{n})+  \frac{1}{2}\cdot \left [ 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...\frac{1}{n^{2}} \right ] - \frac{1}{3}\cdot \left [ 1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+...+\frac{1}{n^{3}} \right ]+...\]
Es decir:
\[\sum_{1}^{n }\frac{1}{k} = ln(n+1)+  \frac{1}{2}\cdot \left [ 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...\frac{1}{n^{2}} \right ] - \frac{1}{3}\cdot \left [ 1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+...+\frac{1}{n^{3}} \right ]+...\]   
Euler calcula aproximadamente el resto de la serie que aparece en la expresión y obtiene la estimación: 0,577218.

\[\sum_{1}^{n }\frac{1}{k} = ln(n+1)+0,577218  \]

En consecuencia, para un valor alto de n, la suma parcial de la serie armónica es la suma de un logaritmo más una constante, este número se representa por la letra griega ɣ.

 ɣ es conocida como constante de Euler, no confundir con el número de Euler \( e=2,7182... \)

Su definición exacta es \[   \gamma =\lim_{n\rightarrow \infty } \left [ \sum_{1}^{n}\frac{1}{k}-ln(n+1) \right ]    \]

En la actulidad esta constante se define:
\[   \gamma =\lim_{n\rightarrow \infty } \left [ \sum_{1}^{n}\frac{1}{k}-ln(n) \right ]    \]
lo que no supone ninguna diferencia, en cuanto a su valor como límite.


  \(  \gamma , \pi ,e\) aparecen por sorpresa en muchas cuestiones del Análisis superior.

\[  e^{\frac{\gamma }{2}}=\frac{\sqrt{2\pi }}{e}\prod_{1}^{n}e^{\frac{1-2n}{2n}}\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}    \]
\[  \gamma=-\int_{0}^{\infty }e^{-x}\ln(x) \]

\[\gamma=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{1}{n^{x}}-\frac{1}{x^{n}} \right ) \]

Finalmente, la relación entre la función Gamma \(\Gamma\) y \(\gamma \), siendo   \(\Gamma (n)= (n-1)!\):

\[\gamma =\lim_{n\rightarrow \infty }\left [ \frac{\Gamma (\frac{1}{n})\cdot \Gamma (n+1)\cdot n^{\frac{n+1}{n}}}{\Gamma (2+n+\frac{1}{n})}-\frac{n^{2}}{n+1}\right ] \]

A día de hoy sigue sin demostración su carácter irracional o racional. Es admitido universalmente que es un número irracional.

El geómetra italiano Mascheroni en su obra Adnotationes ad calculum integrale Euleri, calculó el valor de  ɣ con 32 decimales, unos años más tarde Johann Georg von Soldner dio a conocer una aproximación que difería de la de Mascheroni a partir de la vigésima cifra decimal. Algo tan desconcertante que Gauss encargó que un calculista infatigable, F.B.G. Nicolai, resolviera el conflicto numérico. Calculó ɣ  con 40 decimales, finalmente Soldner tenía razón y Mascheroni estaba equivocado. Pero el hecho de que hubiera calculado mal su valor no impidió que en la actualidad ɣ se conozca como la constante de Euler-Mascheroni, ello se debe a que fue Mascheroni quien bautizó a este enigmático número con el nombre ɣ.

En el año 2006 Alexander J. Yee calculó la constante de Euler-Mascheroni con más de 116 millones de cifras decimales...

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Fuentes
Euler, El maestro de todos los matemáticos (William Dunham)
Euler y la Teoría de números
Las funciones eulerianas Gamma y Beta complejas
Euler's Correspondence with Christian Goldbach 
The Euler Archive

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